Løs 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Subtraher 1 fra 5 for at få 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som -x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -4.

$$-1,4 -2,2$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=4 b=-1$$

Omskriv -x^{2}+3x+4 som \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Udfaktoriser -x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Løs x-4=0 og -x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Subtraher 1 fra 5 for at få 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 3 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 9 til 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±5}{-2} når ± er plus. Adder -3 til 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Divider 2 med -2.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±5}{-2} når ± er minus. Subtraher 5 fra -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Divider -8 med -2.

$$x=4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Subtraher 5 fra begge sider.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Subtraher 5 fra 1 for at få -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Divider 3 med -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Divider -4 med -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Adder 4 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=4 x=-1$$