Løs 3w^2-12w+7=0

$$3 w ^ { 2 } - 12 w + 7 = 0$$

Løs for w

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2\approx 3,290994449$$

$$w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2\approx 0,709005551$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3w^{2}-12w+7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -12 med b og 7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kvadrér -12.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 7.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-84}}{2\times 3}$$

Adder 144 til -84.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{60}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 60.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{15}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$w=\frac{12±2\sqrt{15}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$w=\frac{12±2\sqrt{15}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, w=\frac{12±2\sqrt{15}}{6} når ± er plus. Adder 12 til 2\sqrt{15}.

$$w=\frac{2\sqrt{15}+12}{6}$$

Divider 12+2\sqrt{15} med 6.

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$

Nu skal du løse ligningen, w=\frac{12±2\sqrt{15}}{6} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{15} fra 12.

$$w=\frac{12-2\sqrt{15}}{6}$$

Divider 12-2\sqrt{15} med 6.

$$w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$

Ligningen er nu løst.

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2 w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3w^{2}-12w+7=0$$

Subtraher 7 fra begge sider af ligningen.

$$3w^{2}-12w+7-7=-7$$

Hvis 7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3w^{2}-12w=-7$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3w^{2}-12w}{3}=-\frac{7}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$w^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)w=-\frac{7}{3}$$

Divider -12 med 3.

$$w^{2}-4w=-\frac{7}{3}$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$w^{2}-4w+\left(-2\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$w^{2}-4w+4=-\frac{7}{3}+4$$

Adder -\frac{7}{3} til 4.

$$w^{2}-4w+4=\frac{5}{3}$$

Faktor w^{2}-4w+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(w-2\right)^{2}=\frac{5}{3}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(w-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$$

Forenkling.

$$w-2=\frac{\sqrt{15}}{3} w-2=-\frac{\sqrt{15}}{3}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2 w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$