Løs 3q^2-12q=15

$$3 q ^ { 2 } - 12 q = 15$$

Løs for q

$$q=-1$$

$$q=5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 15 fra begge sider.

$$3q^{2}-12q-15=0$$

Divider begge sider med 3.

$$q^{2}-4q-5=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som q^{2}+aq+bq-5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=1\left(-5\right)=-5$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-5 b=1$$

Omskriv q^{2}-4q-5 som \left(q^{2}-5q\right)+\left(q-5\right).

$$\left(q^{2}-5q\right)+\left(q-5\right)$$

Udfaktoriser q i q^{2}-5q.

$$q\left(q-5\right)+q-5$$

Udfaktoriser fællesleddet q-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(q-5\right)\left(q+1\right)$$

Løs q-5=0 og q+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$q=5 q=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3q^{2}-12q=15$$

Subtraher 15 fra begge sider af ligningen.

$$3q^{2}-12q-15=15-15$$

Hvis 15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3q^{2}-12q-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -12 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -12.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -15.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+180}}{2\times 3}$$

Adder 144 til 180.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{324}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±18}{2\times 3}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$q=\frac{12±18}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$q=\frac{12±18}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, q=\frac{12±18}{6} når ± er plus. Adder 12 til 18.

$$q=\frac{30}{6}$$

Divider 30 med 6.

$$q=5$$

Nu skal du løse ligningen, q=\frac{12±18}{6} når ± er minus. Subtraher 18 fra 12.

$$q=-\frac{6}{6}$$

Divider -6 med 6.

$$q=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$q=5 q=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3q^{2}-12q=15$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3q^{2}-12q}{3}=\frac{15}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$q^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)q=\frac{15}{3}$$

Divider -12 med 3.

$$q^{2}-4q=\frac{15}{3}$$

Divider 15 med 3.

$$q^{2}-4q=5$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$q^{2}-4q+\left(-2\right)^{2}=5+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$q^{2}-4q+4=5+4$$

Adder 5 til 4.

$$q^{2}-4q+4=9$$

Faktor q^{2}-4q+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(q-2\right)^{2}=9$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(q-2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkling.

$$q-2=3 q-2=-3$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$q=5 q=-1$$