Løs 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Løs for p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3p^{2}+ap+bp+5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Løsningen er det par, der får summen -8.

$$a=-5 b=-3$$

Omskriv 3p^{2}-8p+5 som \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Udp i den første og -1 i den anden gruppe.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3p-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Løs 3p-5=0 og p-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -8 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kvadrér -8.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Adder 64 til -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, p=\frac{8±2}{6} når ± er plus. Adder 8 til 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, p=\frac{8±2}{6} når ± er minus. Subtraher 2 fra 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Divider 6 med 6.

$$p=1$$

Ligningen er nu løst.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Divider -\frac{8}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{4}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{4}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{4}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Føj -\frac{5}{3} til \frac{16}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Forenkling.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Adder \frac{4}{3} på begge sider af ligningen.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$