Løs 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Løs for n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3n^{2}+an+bn-15. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -4.

$$a=-9 b=5$$

Omskriv 3n^{2}-4n-15 som \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Ud3n i den første og 5 i den anden gruppe.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet n-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Løs n-3=0 og 3n+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -4 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Adder 16 til 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{4±14}{6} når ± er plus. Adder 4 til 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Divider 18 med 6.

$$n=3$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{4±14}{6} når ± er minus. Subtraher 14 fra 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Adder 15 på begge sider af ligningen.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Hvis -15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Subtraher -15 fra 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Divider 15 med 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Divider -\frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Adder 5 til \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Forenkling.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Adder \frac{2}{3} på begge sider af ligningen.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$