Løs 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Løs for n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 8 fra begge sider.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3n^{2}+an+bn-8. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Løsningen er det par, der får summen 10.

$$a=-2 b=12$$

Omskriv 3n^{2}+10n-8 som \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Udn i den første og 4 i den anden gruppe.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3n-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Løs 3n-2=0 og n+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3n^{2}+10n=8$$

Subtraher 8 fra begge sider af ligningen.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Hvis 8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 10 med b og -8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Adder 100 til 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-10±14}{6} når ± er plus. Adder -10 til 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-10±14}{6} når ± er minus. Subtraher 14 fra -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Divider -24 med 6.

$$n=-4$$

Ligningen er nu løst.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3n^{2}+10n=8$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Divider \frac{10}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Føj \frac{8}{3} til \frac{25}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Forenkling.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Subtraher \frac{5}{3} fra begge sider af ligningen.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$