Løs 3m^2+4m+1=5/9

$$3 m ^ { 2 } + 4 m + 1 = \frac { 5 } { 9 }$$

Løs for m

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}\approx -0,122335613$$

$$m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}\approx -1,210997721$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3m^{2}+4m+1=\frac{5}{9}$$

Subtraher \frac{5}{9} fra begge sider af ligningen.

$$3m^{2}+4m+1-\frac{5}{9}=\frac{5}{9}-\frac{5}{9}$$

Hvis \frac{5}{9} subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3m^{2}+4m+1-\frac{5}{9}=0$$

Subtraher \frac{5}{9} fra 1.

$$3m^{2}+4m+\frac{4}{9}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 4 med b og \frac{4}{9} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

Kvadrér 4.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-12\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange \frac{4}{9}.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-\frac{16}{3}}}{2\times 3}$$

Adder 16 til -\frac{16}{3}.

$$m=\frac{-4±\sqrt{\frac{32}{3}}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af \frac{32}{3}.

$$m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6} når ± er plus. Adder -4 til \frac{4\sqrt{6}}{3}.

$$m=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}-4}{6}$$

Divider -4+\frac{4\sqrt{6}}{3} med 6.

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6} når ± er minus. Subtraher \frac{4\sqrt{6}}{3} fra -4.

$$m=\frac{-\frac{4\sqrt{6}}{3}-4}{6}$$

Divider -4-\frac{4\sqrt{6}}{3} med 6.

$$m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3} m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3m^{2}+4m+1=\frac{5}{9}$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$3m^{2}+4m+1-1=\frac{5}{9}-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3m^{2}+4m=\frac{5}{9}-1$$

Subtraher 1 fra \frac{5}{9}.

$$3m^{2}+4m=-\frac{4}{9}$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3m^{2}+4m}{3}=-\frac{\frac{4}{9}}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$m^{2}+\frac{4}{3}m=-\frac{\frac{4}{9}}{3}$$

Divider -\frac{4}{9} med 3.

$$m^{2}+\frac{4}{3}m=-\frac{4}{27}$$

Divider \frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{27}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}=-\frac{4}{27}+\frac{4}{9}$$

Føj -\frac{4}{27} til \frac{4}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}=\frac{8}{27}$$

Faktor m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(m+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{27}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(m+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{27}}$$

Forenkling.

$$m+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{9} m+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{6}}{9}$$

Subtraher \frac{2}{3} fra begge sider af ligningen.

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3} m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$