Løs 3k^2+11k+16=0

$$3 k ^ { 2 } + 11 k + 16 = 0$$

Løs for k

$$k=\frac{-11+\sqrt{71}i}{6}\approx -1,833333333+1,404358296i$$

$$k=\frac{-\sqrt{71}i-11}{6}\approx -1,833333333-1,404358296i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3k^{2}+11k+16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 11 med b og 16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Kvadrér 11.

$$k=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$k=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 16.

$$k=\frac{-11±\sqrt{121-192}}{2\times 3}$$

Adder 121 til -192.

$$k=\frac{-11±\sqrt{-71}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -71.

$$k=\frac{-11±\sqrt{71}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$k=\frac{-11±\sqrt{71}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{-11±\sqrt{71}i}{6} når ± er plus. Adder -11 til i\sqrt{71}.

$$k=\frac{-11+\sqrt{71}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{-11±\sqrt{71}i}{6} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{71} fra -11.

$$k=\frac{-\sqrt{71}i-11}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$k=\frac{-11+\sqrt{71}i}{6} k=\frac{-\sqrt{71}i-11}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3k^{2}+11k+16=0$$

Subtraher 16 fra begge sider af ligningen.

$$3k^{2}+11k+16-16=-16$$

Hvis 16 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3k^{2}+11k=-16$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3k^{2}+11k}{3}=-\frac{16}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$k^{2}+\frac{11}{3}k=-\frac{16}{3}$$

Divider \frac{11}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{11}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{11}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$k^{2}+\frac{11}{3}k+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{11}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$k^{2}+\frac{11}{3}k+\frac{121}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{121}{36}$$

Føj -\frac{16}{3} til \frac{121}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$k^{2}+\frac{11}{3}k+\frac{121}{36}=-\frac{71}{36}$$

Faktor k^{2}+\frac{11}{3}k+\frac{121}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(k+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{71}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(k+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{36}}$$

Forenkling.

$$k+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{71}i}{6} k+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{71}i}{6}$$

Subtraher \frac{11}{6} fra begge sider af ligningen.

$$k=\frac{-11+\sqrt{71}i}{6} k=\frac{-\sqrt{71}i-11}{6}$$