Løs 3f^2+3f-18=0

$$3 f ^ { 2 } + 3 f - 18 = 0$$

Løs for f

$$f=-3$$

$$f=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 3.

$$f^{2}+f-6=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som f^{2}+af+bf-6. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -6.

$$-1,6 -2,3$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Løsningen er det par, der får summen 1.

$$a=-2 b=3$$

Omskriv f^{2}+f-6 som \left(f^{2}-2f\right)+\left(3f-6\right).

$$\left(f^{2}-2f\right)+\left(3f-6\right)$$

Udf i den første og 3 i den anden gruppe.

$$f\left(f-2\right)+3\left(f-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet f-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(f-2\right)\left(f+3\right)$$

Løs f-2=0 og f+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$f=2 f=-3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3f^{2}+3f-18=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 3 med b og -18 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 3.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -18.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9+216}}{2\times 3}$$

Adder 9 til 216.

$$f=\frac{-3±\sqrt{225}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 225.

$$f=\frac{-3±15}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$f=\frac{-3±15}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, f=\frac{-3±15}{6} når ± er plus. Adder -3 til 15.

$$f=\frac{12}{6}$$

Divider 12 med 6.

$$f=2$$

Nu skal du løse ligningen, f=\frac{-3±15}{6} når ± er minus. Subtraher 15 fra -3.

$$f=-\frac{18}{6}$$

Divider -18 med 6.

$$f=-3$$

Ligningen er nu løst.

$$f=2 f=-3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3f^{2}+3f-18=0$$

Adder 18 på begge sider af ligningen.

$$3f^{2}+3f-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Hvis -18 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3f^{2}+3f=-\left(-18\right)$$

Subtraher -18 fra 0.

$$3f^{2}+3f=18$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3f^{2}+3f}{3}=\frac{18}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$f^{2}+\frac{3}{3}f=\frac{18}{3}$$

Divider 3 med 3.

$$f^{2}+f=\frac{18}{3}$$

Divider 18 med 3.

$$f^{2}+f=6$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$f^{2}+f+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Adder 6 til \frac{1}{4}.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor f^{2}+f+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkling.

$$f+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} f+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$f=2 f=-3$$