Løs 3-xsqrt{6}-xsqrt{2}-x^2+x^2sqrt{6}+2x^2+2+4x+2=0

$$3 - x \sqrt { 6 } - x \sqrt { 2 } - x ^ { 2 } + x ^ { 2 } \sqrt { 6 } + 2 x ^ { 2 } + 2 + 4 x + 2 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}\right)}{10}\approx -0,019756066+1,424392972i$$

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4\right)}{10}\approx -0,019756066-1,424392972i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Kombiner -x^{2} og 2x^{2} for at få x^{2}.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+2+4x+2=0$$

Tilføj 2 og 2 for at få 4.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4+4x=0$$

Tilføj 3 og 4 for at få 7.

$$7-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=0$$

Kombiner alle led med x.

$$7+\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2}+4\right)x+\left(1+\sqrt{6}\right)x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$\left(\sqrt{6}+1\right)x^{2}+\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x+7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1+\sqrt{6} med a, -\sqrt{6}-\sqrt{2}+4 med b og 7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)^{2}-4\left(\sqrt{6}+1\right)\times 7}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Kvadrér -\sqrt{6}-\sqrt{2}+4.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}+24-8\sqrt{2}-8\sqrt{6}-4\left(\sqrt{6}+1\right)\times 7}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Multiplicer -4 gange 1+\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}+24-8\sqrt{2}-8\sqrt{6}+\left(-4\sqrt{6}-4\right)\times 7}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Multiplicer -4-4\sqrt{6} gange 7.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}+24-8\sqrt{2}-8\sqrt{6}-28\sqrt{6}-28}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Adder 24-8\sqrt{6}+4\sqrt{3}-8\sqrt{2} til -28-28\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}-8\sqrt{2}-36\sqrt{6}-4}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Tag kvadratroden af -4-36\sqrt{6}+4\sqrt{3}-8\sqrt{2}.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Multiplicer 2 gange 1+\sqrt{6}.

$$x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2} når ± er plus. Adder \sqrt{6}+\sqrt{2}-4 til 2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2}$$

Divider \sqrt{6}+\sqrt{2}-4+2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}} med 2+2\sqrt{6}.

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}\right)}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}} fra \sqrt{6}+\sqrt{2}-4.

$$x=\frac{-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4}{2\sqrt{6}+2}$$

Divider \sqrt{6}+\sqrt{2}-4-2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}} med 2+2\sqrt{6}.

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4\right)}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}\right)}{10} x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4\right)}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kombiner -x^{2} og 2x^{2} for at få x^{2}.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+2+4x+2=0$$

Tilføj 2 og 2 for at få 4.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4+4x=0$$

Subtraher 4 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=-4$$

Subtraher 3 fra begge sider.

$$-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=-4-3$$

Subtraher 3 fra -4 for at få -7.

$$-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=-7$$

Kombiner alle led med x.

$$\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2}+4\right)x+\left(1+\sqrt{6}\right)x^{2}=-7$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$\left(\sqrt{6}+1\right)x^{2}+\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x=-7$$

Divider begge sider med 1+\sqrt{6}.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+1\right)x^{2}+\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x}{\sqrt{6}+1}=-\frac{7}{\sqrt{6}+1}$$

Division med 1+\sqrt{6} annullerer multiplikationen med 1+\sqrt{6}.

$$x^{2}+\frac{4-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{6}+1}x=-\frac{7}{\sqrt{6}+1}$$

Divider -\sqrt{6}-\sqrt{2}+4 med 1+\sqrt{6}.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x=-\frac{7}{\sqrt{6}+1}$$

Divider -7 med 1+\sqrt{6}.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x=\frac{7-7\sqrt{6}}{5}$$

Divider -2+\sqrt{6}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10}. Adder derefter kvadratet af -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\left(\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}=\frac{7-7\sqrt{6}}{5}+\left(\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}$$

Kvadrér -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10}.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}=\frac{7-7\sqrt{6}}{5}+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}$$

Adder \frac{-7\sqrt{6}+7}{5} til \frac{66}{25}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}=\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{61\sqrt{6}}{25}+\frac{101}{25}$$

Faktor x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{61\sqrt{6}}{25}+\frac{101}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{61\sqrt{6}}{25}+\frac{101}{25}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1=\frac{i\sqrt{-\left(15\sqrt{3}+101-20\sqrt{2}-61\sqrt{6}\right)}}{5} x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1=-\frac{i\sqrt{20\sqrt{2}+61\sqrt{6}-15\sqrt{3}-101}}{5}$$

Subtraher -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{i\sqrt{20\sqrt{2}+61\sqrt{6}-15\sqrt{3}-101}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{10}-\frac{\sqrt{6}}{2}+1 x=-\frac{i\sqrt{20\sqrt{2}+61\sqrt{6}-15\sqrt{3}-101}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{10}-\frac{\sqrt{6}}{2}+1$$