Løs 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Løs for z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som z^{2}+az+bz+2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=1 b=2$$

Omskriv z^{2}+3z+2 som \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Udz i den første og 2 i den anden gruppe.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet z+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Løs z+1=0 og z+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$z=-1 z=-2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 9 med b og 6 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kvadrér 9.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Adder 81 til -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{-9±3}{6} når ± er plus. Adder -9 til 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Divider -6 med 6.

$$z=-1$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{-9±3}{6} når ± er minus. Subtraher 3 fra -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Divider -12 med 6.

$$z=-2$$

Ligningen er nu løst.

$$z=-1 z=-2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Subtraher 6 fra begge sider af ligningen.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Hvis 6 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Divider 9 med 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Divider -6 med 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Adder -2 til \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktor z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkling.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$z=-1 z=-2$$