Løs 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Faktoriser

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Løsningsvejledning

Hvis du vil faktorisere udtrykket, skal du løse ligningen, hvor det er lig med 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Med rational rod-sætningen er alle rationale rødder af en polynomisk værdi i form af \frac{p}{q}, hvor p dividerer den konstante term -40 og q dividerer den ledende koefficient 3. Vis en liste over alle ansøgere \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Find en sådan rod ved at afprøve alle heltalsværdierne. Begynd med den mindste efter absolut værdi. Hvis der ikke findes nogen heltals rødder, kan du prøve at bruge brøker.

$$x=-2$$

I henhold til faktorsætningen er x-k en faktor for polynomiet for hver rod k. Divider 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 med x+2 for at få 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Hvis du vil indregne resultatet, skal du løse ligningen, hvor det er lig med 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Med rational rod-sætningen er alle rationale rødder af en polynomisk værdi i form af \frac{p}{q}, hvor p dividerer den konstante term -20 og q dividerer den ledende koefficient 3. Vis en liste over alle ansøgere \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Find en sådan rod ved at afprøve alle heltalsværdierne. Begynd med den mindste efter absolut værdi. Hvis der ikke findes nogen heltals rødder, kan du prøve at bruge brøker.

$$x=\frac{5}{3}$$

I henhold til faktorsætningen er x-k en faktor for polynomiet for hver rod k. Divider 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 med 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 for at få x^{2}+4. Hvis du vil indregne resultatet, skal du løse ligningen, hvor det er lig med 0.

$$x^{2}+4=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 1 med a, 0 med b, og 4 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Polynomiet x^{2}+4 er ikke faktoriseret, da det ikke har nogen rationale rødder.

$$x^{2}+4$$

Omskriv det faktoriserede udtryk ved hjælp af de hentede rødder.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Evaluer

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$