Løs 3x^2-x-4=0

$$3 { x }^{ 2 } -x-4=0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -1.

$$a=-4 b=3$$

Omskriv 3x^{2}-x-4 som \left(3x^{2}-4x\right)+\left(3x-4\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(3x-4\right)$$

Udfaktoriser x i 3x^{2}-4x.

$$x\left(3x-4\right)+3x-4$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-4\right)\left(x+1\right)$$

Løs 3x-4=0 og x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{4}{3} x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -1 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Adder 1 til 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 3}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{1±7}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±7}{6} når ± er plus. Adder 1 til 7.

$$x=\frac{8}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±7}{6} når ± er minus. Subtraher 7 fra 1.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Divider -6 med 6.

$$x=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{4}{3} x=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-x-4=0$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Hvis -4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-x=-\left(-4\right)$$

Subtraher -4 fra 0.

$$3x^{2}-x=4$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-x}{3}=\frac{4}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{4}{3}$$

Divider -\frac{1}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Føj \frac{4}{3} til \frac{1}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Adder \frac{1}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{4}{3} x=-1$$