Løs 3x^2-6x+1=0

$$3 { x }^{ 2 } -6x+1=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 1,816496581$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 0,183503419$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-6x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -6 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrér -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12}}{2\times 3}$$

Adder 36 til -12.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{24}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 24.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{6}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{6}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6} når ± er plus. Adder 6 til 2\sqrt{6}.

$$x=\frac{2\sqrt{6}+6}{6}$$

Divider 6+2\sqrt{6} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{6} fra 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{6}}{6}$$

Divider 6-2\sqrt{6} med 6.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-6x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-6x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-6x=-1$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-6x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)x=-\frac{1}{3}$$

Divider -6 med 3.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{3}$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{3}+1$$

Adder -\frac{1}{3} til 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{2}{3}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{2}{3}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Forenkling.

$$x-1=\frac{\sqrt{6}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$