Løs 3x^2-5x-4=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-4=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 5}{6} \approx 2,257333958$$

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}\approx -0,590667291$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -5 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+48}}{2\times 3}$$

Adder 25 til 48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{73}}{6} når ± er plus. Adder 5 til \sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{73}}{6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{73} fra 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Hvis -4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-4\right)$$

Subtraher -4 fra 0.

$$3x^{2}-5x=4$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{4}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{3}$$

Divider -\frac{5}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Føj \frac{4}{3} til \frac{25}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{73}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{73}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{73}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{73}}{6}$$

Adder \frac{5}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$