Løs 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-372. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=-36 b=31$$

Omskriv 3x^{2}-5x-372 som \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Ud3x i den første og 31 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-12 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Løs x-12=0 og 3x+31=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -5 med b og -372 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Adder 25 til 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±67}{6} når ± er plus. Adder 5 til 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Divider 72 med 6.

$$x=12$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±67}{6} når ± er minus. Subtraher 67 fra 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-62}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Adder 372 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Hvis -372 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Subtraher -372 fra 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Divider 372 med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Divider -\frac{5}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Adder 124 til \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Adder \frac{5}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$