Løs 3x^2-5x+2=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x+2=0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=3\times 2=6$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=-3 b=-2$$

Omskriv 3x^{2}-5x+2 som \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Ud3x i den første og -2 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Løs x-1=0 og 3x-2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -5 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Adder 25 til -24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±1}{2\times 3}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±1}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{5±1}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±1}{6} når ± er plus. Adder 5 til 1.

$$x=\frac{6}{6}$$

Divider 6 med 6.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±1}{6} når ± er minus. Subtraher 1 fra 5.

$$x=\frac{4}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-5x+2-2=-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-5x=-2$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Divider -\frac{5}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Føj -\frac{2}{3} til \frac{25}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Adder \frac{5}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$