Løs 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-60. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Løsningen er det par, der får summen -31.

$$a=-36 b=5$$

Omskriv 3x^{2}-31x-60 som \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Ud3x i den første og 5 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-12 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Løs x-12=0 og 3x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -31 med b og -60 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Adder 961 til 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Det modsatte af -31 er 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{31±41}{6} når ± er plus. Adder 31 til 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Divider 72 med 6.

$$x=12$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{31±41}{6} når ± er minus. Subtraher 41 fra 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Adder 60 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Hvis -60 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Subtraher -60 fra 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Divider 60 med 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Divider -\frac{31}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{31}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{31}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{31}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Adder 20 til \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Adder \frac{31}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$