Løs 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -2 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Adder 4 til 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} når ± er plus. Adder 2 til 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Divider 2+4\sqrt{7} med 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{7} fra 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Divider 2-4\sqrt{7} med 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Divider 9 med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Divider -\frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Adder 3 til \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Adder \frac{1}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$