Løs 3x^2-2x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x+9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}\approx 0,333333333+1,699673171i$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,699673171i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -2 med b og 9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-108}}{2\times 3}$$

Adder 4 til -108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-104}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -104.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} når ± er plus. Adder 2 til 2i\sqrt{26}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{26}i}{6}$$

Divider 2+2i\sqrt{26} med 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{26} fra 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i+2}{6}$$

Divider 2-2i\sqrt{26} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-2x+9-9=-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-2x=-9$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Divider -9 med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-3$$

Divider -\frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-3+\frac{1}{9}$$

Adder -3 til \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{26}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{26}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{26}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{26}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{26}i}{3}$$

Adder \frac{1}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$