Løs 3x^2-15x=18

$$3 { x }^{ 2 } -15x=18$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 18 fra begge sider.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Divider begge sider med 3.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-6. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -6.

$$1,-6 2,-3$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=-6 b=1$$

Omskriv x^{2}-5x-6 som \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Udfaktoriser x i x^{2}-6x.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

Udfaktoriser fællesleddet x-6 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Løs x-6=0 og x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=6 x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-15x=18$$

Subtraher 18 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-15x-18=18-18$$

Hvis 18 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -15 med b og -18 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -18.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+216}}{2\times 3}$$

Adder 225 til 216.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 441.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±21}{2\times 3}$$

Det modsatte af -15 er 15.

$$x=\frac{15±21}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{15±21}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±21}{6} når ± er plus. Adder 15 til 21.

$$x=\frac{36}{6}$$

Divider 36 med 6.

$$x=6$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±21}{6} når ± er minus. Subtraher 21 fra 15.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Divider -6 med 6.

$$x=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=6 x=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-15x=18$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{18}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{18}{3}$$

Divider -15 med 3.

$$x^{2}-5x=\frac{18}{3}$$

Divider 18 med 3.

$$x^{2}-5x=6$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Adder 6 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=6 x=-1$$