Løs 3x^2-15x+16=0

$$3 { x }^{ 2 } -15x+16=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 3,457427108$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 1,542572892$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -15 med b og 16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Kvadrér -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 16.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-192}}{2\times 3}$$

Adder 225 til -192.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -15 er 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} når ± er plus. Adder 15 til \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}+15}{6}$$

Divider 15+\sqrt{33} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{33} fra 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{33}}{6}$$

Divider 15-\sqrt{33} med 6.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Subtraher 16 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-15x+16-16=-16$$

Hvis 16 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-15x=-16$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=-\frac{16}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=-\frac{16}{3}$$

Divider -15 med 3.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{3}$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{16}{3}+\frac{25}{4}$$

Føj -\frac{16}{3} til \frac{25}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{12}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$