Løs 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 3x^{2}+ax+bx-8. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -10.

$$a=-12 b=2$$

Omskriv 3x^{2}-10x-8 som \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Udfaktoriser 3x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Løs x-4=0 og 3x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -10 med b og -8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Adder 100 til 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±14}{6} når ± er plus. Adder 10 til 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Divider 24 med 6.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±14}{6} når ± er minus. Subtraher 14 fra 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-4}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Adder 8 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Hvis -8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Subtraher -8 fra 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Divider -\frac{10}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Føj \frac{8}{3} til \frac{25}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Adder \frac{5}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$