Løs 3x^2+5x+2=8

$$3 { x }^{ 2 } +5x+2 = 8$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{97}-5}{6}\approx 0,808142967$$

$$x=\frac{-\sqrt{97}-5}{6}\approx -2,474809634$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+5x+2=8$$

Subtraher 8 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+5x+2-8=8-8$$

Hvis 8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+5x+2-8=0$$

Subtraher 8 fra 2.

$$3x^{2}+5x-6=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 5 med b og -6 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+72}}{2\times 3}$$

Adder 25 til 72.

$$x=\frac{-5±\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{97}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{97}}{6} når ± er plus. Adder -5 til \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}-5}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{97}}{6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{97} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{97}-5}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{97}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{97}-5}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+5x+2=8$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+5x+2-2=8-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+5x=8-2$$

Subtraher 2 fra 8.

$$3x^{2}+5x=6$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{6}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{6}{3}$$

Divider 6 med 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=2$$

Divider \frac{5}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=2+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=2+\frac{25}{36}$$

Adder 2 til \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{97}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{97}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{97}}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{97}}{6}$$

Subtraher \frac{5}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{97}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{97}-5}{6}$$