Løs 3x^2+3x+5=0

$$3 { x }^{ 2 } +3x+5=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,190238071i$$

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,190238071i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 3 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\times 3}$$

Adder 9 til -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} når ± er plus. Adder -3 til i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{6}$$

Divider -3+i\sqrt{51} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{51} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{6}$$

Divider -3-i\sqrt{51} med 6.

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+3x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+3x=-5$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Divider 3 med 3.

$$x^{2}+x=-\frac{5}{3}$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{1}{4}$$

Føj -\frac{5}{3} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{12}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{12}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{12}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{51}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{51}i}{6}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$