Løs 3x^2+2x+15=9

$$3 { x }^{ 2 } +2x+15=9$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}\approx -0,333333333+1,374368542i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}\approx -0,333333333-1,374368542i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+2x+15-9=9-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+2x+15-9=0$$

Subtraher 9 fra 15.

$$3x^{2}+2x+6=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 2 med b og 6 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 3}$$

Adder 4 til -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6} når ± er plus. Adder -2 til 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{6}$$

Divider -2+2i\sqrt{17} med 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{17} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{6}$$

Divider -2-2i\sqrt{17} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

Subtraher 15 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+2x+15-15=9-15$$

Hvis 15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+2x=9-15$$

Subtraher 15 fra 9.

$$3x^{2}+2x=-6$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{6}{3}$$

Divider -6 med 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-2$$

Divider \frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-2+\frac{1}{9}$$

Adder -2 til \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{17}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

Subtraher \frac{1}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$