Løs 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx+10. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Løsningen er det par, der får summen 17.

$$a=2 b=15$$

Omskriv 3x^{2}+17x+10 som \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Udx i den første og 5 i den anden gruppe.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x+2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Løs 3x+2=0 og x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 17 med b og 10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Kvadrér 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Adder 289 til -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-17±13}{6} når ± er plus. Adder -17 til 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-4}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-17±13}{6} når ± er minus. Subtraher 13 fra -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Divider -30 med 6.

$$x=-5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Subtraher 10 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

Hvis 10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Divider \frac{17}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{17}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{17}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{17}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Føj -\frac{10}{3} til \frac{289}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Subtraher \frac{17}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$