Løs 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1,833333333+2,153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1,833333333-2,153807997i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Adder 24 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Hvis -24 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Subtraher -24 fra 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 11 med b og 24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Kvadrér 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Adder 121 til -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} når ± er plus. Adder -11 til i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{167} fra -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Divider -24 med 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Divider \frac{11}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{11}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{11}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{11}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Adder -8 til \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Subtraher \frac{11}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$