Løs 2x-2x^2=12

$$2x-2 { x }^{ 2 } = 12$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}\approx 0,5+2,397915762i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}\approx 0,5-2,397915762i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+2x=12$$

Subtraher 12 fra begge sider af ligningen.

$$-2x^{2}+2x-12=12-12$$

Hvis 12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-2x^{2}+2x-12=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 2 med b og -12 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-96}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 4 til -96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-92}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af -92.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4} når ± er plus. Adder -2 til 2i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{23}i}{-4}$$

Divider -2+2i\sqrt{23} med -4.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{23} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}i-2}{-4}$$

Divider -2-2i\sqrt{23} med -4.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+2x=12$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=\frac{12}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=\frac{12}{-2}$$

Divider 2 med -2.

$$x^{2}-x=\frac{12}{-2}$$

Divider 12 med -2.

$$x^{2}-x=-6$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-6+\frac{1}{4}$$

Adder -6 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{23}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$