Løs 2x(91+2-2x)=1080

$$2x(91+2-2x)=1080$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{481} + 93}{4} \approx 39,69878415$$

$$x = \frac{93 - 3 \sqrt{481}}{4} \approx 6,80121585$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Tilføj 91 og 2 for at få 93.

$$2x\left(93-2x\right)=1080$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med 93-2x.

$$186x-4x^{2}=1080$$

Subtraher 1080 fra begge sider.

$$186x-4x^{2}-1080=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4x^{2}+186x-1080=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, 186 med b og -1080 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-186±\sqrt{186^{2}-4\left(-4\right)\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér 186.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596-4\left(-4\right)\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596+16\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 16 gange -1080.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596-17280}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 34596 til -17280.

$$x=\frac{-186±\sqrt{17316}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 17316.

$$x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8} når ± er plus. Adder -186 til 6\sqrt{481}.

$$x=\frac{6\sqrt{481}-186}{-8}$$

Divider -186+6\sqrt{481} med -8.

$$x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{481} fra -186.

$$x=\frac{-6\sqrt{481}-186}{-8}$$

Divider -186-6\sqrt{481} med -8.

$$x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4} x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Tilføj 91 og 2 for at få 93.

$$2x\left(93-2x\right)=1080$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med 93-2x.

$$186x-4x^{2}=1080$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4x^{2}+186x=1080$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}+186x}{-4}=\frac{1080}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{186}{-4}x=\frac{1080}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{186}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x=\frac{1080}{-4}$$

Divider 1080 med -4.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x=-270$$

Divider -\frac{93}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{93}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{93}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\left(-\frac{93}{4}\right)^{2}=-270+\left(-\frac{93}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{93}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16}=-270+\frac{8649}{16}$$

Adder -270 til \frac{8649}{16}.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16}=\frac{4329}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{93}{4}\right)^{2}=\frac{4329}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{93}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4329}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{93}{4}=\frac{3\sqrt{481}}{4} x-\frac{93}{4}=-\frac{3\sqrt{481}}{4}$$

Adder \frac{93}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4} x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4}$$