Løs 2x=5x^2+1

$$2x=5 { x }^{ 2 } +1$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i=0,2-0,4i$$

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i=0,2+0,4i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$2x-5x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$2x-5x^{2}-1=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-5x^{2}+2x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -5 med a, 2 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-5\right)\left(-1\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-5\right)\left(-1\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer -4 gange -5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+20\left(-1\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 20 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2\left(-5\right)}$$

Adder 4 til -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2\left(-5\right)}$$

Tag kvadratroden af -16.

$$x=\frac{-2±4i}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 2 gange -5.

$$x=\frac{-2±4i}{-10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±4i}{-10} når ± er plus. Adder -2 til 4i.

$$x=\frac{-2+4i}{-10}$$

Divider -2+4i med -10.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±4i}{-10} når ± er minus. Subtraher 4i fra -2.

$$x=\frac{-2-4i}{-10}$$

Divider -2-4i med -10.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$2x-5x^{2}=1$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-5x^{2}+2x=1$$

Divider begge sider med -5.

$$\frac{-5x^{2}+2x}{-5}=\frac{1}{-5}$$

Division med -5 annullerer multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{2}{-5}x=\frac{1}{-5}$$

Divider 2 med -5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{1}{-5}$$

Divider 1 med -5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Divider -\frac{2}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}$$

Føj -\frac{1}{5} til \frac{1}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{4}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}i$$

Adder \frac{1}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$