Løs 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0,25-0,968245837i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Kombiner 2x og -4x for at få -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Subtraher 5 fra begge sider.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

Subtraher 5 fra 1 for at få -4.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, -2 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 16 gange -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 4 til -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af -60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} når ± er plus. Adder 2 til 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Divider 2+2i\sqrt{15} med -8.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{15} fra 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Divider 2-2i\sqrt{15} med -8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Kombiner 2x og -4x for at få -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

Subtraher 1 fra 5 for at få 4.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Divider 4 med -4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Divider \frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Adder -1 til \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$