Løs 28k^2+k+1=0

$$28 k ^ { 2 } + k + 1 = 0$$

Løs for k

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56}\approx -0,017857143+0,188136674i$$

$$k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}\approx -0,017857143-0,188136674i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$28k^{2}+k+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 28 med a, 1 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28}}{2\times 28}$$

Kvadrér 1.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28}}{2\times 28}$$

Multiplicer -4 gange 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112}}{2\times 28}$$

Adder 1 til -112.

$$k=\frac{-1±\sqrt{-111}}{2\times 28}$$

Tag kvadratroden af -111.

$$k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{2\times 28}$$

Multiplicer 2 gange 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56} når ± er plus. Adder -1 til i\sqrt{111}.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{111} fra -1.

$$k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$

Ligningen er nu løst.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56} k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$28k^{2}+k+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$28k^{2}+k+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$28k^{2}+k=-1$$

Divider begge sider med 28.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=-\frac{1}{28}$$

Division med 28 annullerer multiplikationen med 28.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=-\frac{1}{28}$$

Divider \frac{1}{28}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{56}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{56} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{56} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{3136}$$

Føj -\frac{1}{28} til \frac{1}{3136} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=-\frac{111}{3136}$$

Faktor k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=-\frac{111}{3136}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{3136}}$$

Forenkling.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{\sqrt{111}i}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{\sqrt{111}i}{56}$$

Subtraher \frac{1}{56} fra begge sider af ligningen.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56} k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$