Løs 27x^2+59x-21=0

$$27 { x }^{ 2 } +59x-21=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54}\approx 0,311521488$$

$$x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}\approx -2,496706673$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$27x^{2}+59x-21=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 27 med a, 59 med b og -21 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Kvadrér 59.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Multiplicer -4 gange 27.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-108\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Multiplicer -108 gange -21.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481+2268}}{2\times 27}$$

Adder 3481 til 2268.

$$x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{2\times 27}$$

Multiplicer 2 gange 27.

$$x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54} når ± er plus. Adder -59 til \sqrt{5749}.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54} når ± er minus. Subtraher \sqrt{5749} fra -59.

$$x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$27x^{2}+59x-21=0$$

Adder 21 på begge sider af ligningen.

$$27x^{2}+59x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Hvis -21 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$27x^{2}+59x=-\left(-21\right)$$

Subtraher -21 fra 0.

$$27x^{2}+59x=21$$

Divider begge sider med 27.

$$\frac{27x^{2}+59x}{27}=\frac{21}{27}$$

Division med 27 annullerer multiplikationen med 27.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{21}{27}$$

Reducer fraktionen \frac{21}{27} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{7}{9}$$

Divider \frac{59}{27}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{59}{54}. Adder derefter kvadratet af \frac{59}{54} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{7}{9}+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{59}{54} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{7}{9}+\frac{3481}{2916}$$

Føj \frac{7}{9} til \frac{3481}{2916} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{5749}{2916}$$

Faktor x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{5749}{2916}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5749}{2916}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{59}{54}=\frac{\sqrt{5749}}{54} x+\frac{59}{54}=-\frac{\sqrt{5749}}{54}$$

Subtraher \frac{59}{54} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$