Løs 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1,583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2,806082918$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 27 med a, 33 med b og -120 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Kvadrér 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Multiplicer -4 gange 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Multiplicer -108 gange -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Adder 1089 til 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Tag kvadratroden af 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Multiplicer 2 gange 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} når ± er plus. Adder -33 til 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Divider -33+3\sqrt{1561} med 54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} når ± er minus. Subtraher 3\sqrt{1561} fra -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Divider -33-3\sqrt{1561} med 54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Adder 120 på begge sider af ligningen.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Hvis -120 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

Subtraher -120 fra 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Divider begge sider med 27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

Division med 27 annullerer multiplikationen med 27.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

Reducer fraktionen \frac{33}{27} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

Reducer fraktionen \frac{120}{27} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Divider \frac{11}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{11}{18}. Adder derefter kvadratet af \frac{11}{18} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{11}{18} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

Føj \frac{40}{9} til \frac{121}{324} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

Subtraher \frac{11}{18} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$