Løs 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 25x^{2}+ax+bx+16. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Løsningen er det par, der får summen -40.

$$a=-20 b=-20$$

Omskriv 25x^{2}-40x+16 som \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Udfaktoriser 5x i den første og -4 i den anden gruppe.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 5x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 25 med a, -40 med b og 16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Kvadrér -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplicer -4 gange 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplicer -100 gange 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Adder 1600 til -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Det modsatte af -40 er 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Multiplicer 2 gange 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Reducer fraktionen \frac{40}{50} til de laveste led ved at udtrække og annullere 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Subtraher 16 fra begge sider af ligningen.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Hvis 16 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Divider begge sider med 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Division med 25 annullerer multiplikationen med 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Reducer fraktionen \frac{-40}{25} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Divider -\frac{8}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{4}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{4}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{4}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Føj -\frac{16}{25} til \frac{16}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Faktoriser x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Adder \frac{4}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=\frac{4}{5}$$