Løs 25x^2-20x+12=0

$$25 x ^ { 2 } - 20 x + 12 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5}\approx 0,4+0,565685425i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}\approx 0,4-0,565685425i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$25x^{2}-20x+12=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 25 med a, -20 med b og 12 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

Kvadrér -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

Multiplicer -4 gange 25.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-100\times 12}}{2\times 25}$$

Multiplicer -100 gange 12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-1200}}{2\times 25}$$

Adder 400 til -1200.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{-800}}{2\times 25}$$

Tag kvadratroden af -800.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±20\sqrt{2}i}{2\times 25}$$

Det modsatte af -20 er 20.

$$x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{2\times 25}$$

Multiplicer 2 gange 25.

$$x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{50}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{50} når ± er plus. Adder 20 til 20i\sqrt{2}.

$$x=\frac{20+20\sqrt{2}i}{50}$$

Divider 20+20i\sqrt{2} med 50.

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{50} når ± er minus. Subtraher 20i\sqrt{2} fra 20.

$$x=\frac{-20\sqrt{2}i+20}{50}$$

Divider 20-20i\sqrt{2} med 50.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$25x^{2}-20x+12=0$$

Subtraher 12 fra begge sider af ligningen.

$$25x^{2}-20x+12-12=-12$$

Hvis 12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$25x^{2}-20x=-12$$

Divider begge sider med 25.

$$\frac{25x^{2}-20x}{25}=-\frac{12}{25}$$

Division med 25 annullerer multiplikationen med 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{25}\right)x=-\frac{12}{25}$$

Reducer fraktionen \frac{-20}{25} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{12}{25}$$

Divider -\frac{4}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{12}{25}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{-12+4}{25}$$

Føj -\frac{12}{25} til \frac{4}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{8}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{2\sqrt{2}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{2\sqrt{2}i}{5}$$

Adder \frac{2}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}$$