Løs 25x^2-10x+1=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 25x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-10 ab=25\times 1=25$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 25.

$$-1,-25 -5,-5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-25=-26 -5-5=-10$$

Løsningen er det par, der får summen -10.

$$a=-5 b=-5$$

Omskriv 25x^{2}-10x+1 som \left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right).

$$\left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right)$$

Ud5x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$5x\left(5x-1\right)-\left(5x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 5x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(5x-1\right)\left(5x-1\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(5x-1\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse 5x-1=0.

$$x=\frac{1}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 25 med a, -10 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

Kvadrér -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

Multiplicer -4 gange 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

Adder 100 til -100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{-10}{2\times 25}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$x=\frac{10}{2\times 25}$$

Multiplicer 2 gange 25.

$$x=\frac{10}{50}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{50} til de laveste led ved at udtrække og annullere 10.

$$x=\frac{1}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$25x^{2}-10x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$25x^{2}-10x=-1$$

Divider begge sider med 25.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=-\frac{1}{25}$$

Division med 25 annullerer multiplikationen med 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=-\frac{1}{25}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{25} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{25}$$

Divider -\frac{2}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{-1+1}{25}$$

Føj -\frac{1}{25} til \frac{1}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=0$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{5}=0 x-\frac{1}{5}=0$$

Adder \frac{1}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{5} x=\frac{1}{5}$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=\frac{1}{5}$$