Løs 25x^2-90x+77=0

$$25 { x }^{ 2 } -90x+77=0$$

Løs for x

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1,4$$

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2,2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 25 med a, -90 med b og 77 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Kvadrér -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Multiplicer -4 gange 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 77}}{2\times 25}$$

Multiplicer -100 gange 77.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-7700}}{2\times 25}$$

Adder 8100 til -7700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{400}}{2\times 25}$$

Tag kvadratroden af 400.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±20}{2\times 25}$$

Det modsatte af -90 er 90.

$$x=\frac{90±20}{2\times 25}$$

Multiplicer 2 gange 25.

$$x=\frac{90±20}{50}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{90±20}{50} når ± er plus. Adder 90 til 20.

$$x=\frac{110}{50}$$

Reducer fraktionen \frac{110}{50} til de laveste led ved at udtrække og annullere 10.

$$x=\frac{11}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{90±20}{50} når ± er minus. Subtraher 20 fra 90.

$$x=\frac{70}{50}$$

Reducer fraktionen \frac{70}{50} til de laveste led ved at udtrække og annullere 10.

$$x=\frac{7}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Subtraher 77 fra begge sider af ligningen.

$$25x^{2}-90x+77-77=-77$$

Hvis 77 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$25x^{2}-90x=-77$$

Divider begge sider med 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{77}{25}$$

Division med 25 annullerer multiplikationen med 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{77}{25}$$

Reducer fraktionen \frac{-90}{25} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{77}{25}$$

Divider -\frac{18}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{77}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-77+81}{25}$$

Føj -\frac{77}{25} til \frac{81}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{4}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{2}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{2}{5}$$

Adder \frac{9}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$