Løs 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Løs for x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-600. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Løsningen er det par, der får summen 10.

$$a=-20 b=30$$

Omskriv x^{2}+10x-600 som \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Udx i den første og 30 i den anden gruppe.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-20 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Løs x-20=0 og x+30=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=20 x=-30$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 25 med a, 250 med b og -15000 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Kvadrér 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplicer -4 gange 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplicer -100 gange -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Adder 62500 til 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Tag kvadratroden af 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Multiplicer 2 gange 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-250±1250}{50} når ± er plus. Adder -250 til 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Divider 1000 med 50.

$$x=20$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-250±1250}{50} når ± er minus. Subtraher 1250 fra -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Divider -1500 med 50.

$$x=-30$$

Ligningen er nu løst.

$$x=20 x=-30$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Adder 15000 på begge sider af ligningen.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Hvis -15000 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Subtraher -15000 fra 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Divider begge sider med 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Division med 25 annullerer multiplikationen med 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Divider 250 med 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Divider 15000 med 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Divider 10, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 5. Adder derefter kvadratet af 5 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Kvadrér 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Adder 600 til 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Faktor x^{2}+10x+25. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Forenkling.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$x=20 x=-30$$