Løs 240-82x+12x^2=0

$$240 - 82 x + 12 x ^ { 2 } = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12}\approx 3,416666667+2,885548282i$$

$$x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}\approx 3,416666667-2,885548282i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$12x^{2}-82x+240=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 12 med a, -82 med b og 240 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{\left(-82\right)^{2}-4\times 12\times 240}}{2\times 12}$$

Kvadrér -82.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-4\times 12\times 240}}{2\times 12}$$

Multiplicer -4 gange 12.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-48\times 240}}{2\times 12}$$

Multiplicer -48 gange 240.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-11520}}{2\times 12}$$

Adder 6724 til -11520.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{-4796}}{2\times 12}$$

Tag kvadratroden af -4796.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±2\sqrt{1199}i}{2\times 12}$$

Det modsatte af -82 er 82.

$$x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{2\times 12}$$

Multiplicer 2 gange 12.

$$x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{24}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{24} når ± er plus. Adder 82 til 2i\sqrt{1199}.

$$x=\frac{82+2\sqrt{1199}i}{24}$$

Divider 82+2i\sqrt{1199} med 24.

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{24} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{1199} fra 82.

$$x=\frac{-2\sqrt{1199}i+82}{24}$$

Divider 82-2i\sqrt{1199} med 24.

$$x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12} x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$12x^{2}-82x+240=0$$

Subtraher 240 fra begge sider af ligningen.

$$12x^{2}-82x+240-240=-240$$

Hvis 240 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$12x^{2}-82x=-240$$

Divider begge sider med 12.

$$\frac{12x^{2}-82x}{12}=-\frac{240}{12}$$

Division med 12 annullerer multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{82}{12}\right)x=-\frac{240}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-82}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x=-\frac{240}{12}$$

Divider -240 med 12.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x=-20$$

Divider -\frac{41}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{41}{12}. Adder derefter kvadratet af -\frac{41}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x+\left(-\frac{41}{12}\right)^{2}=-20+\left(-\frac{41}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{41}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x+\frac{1681}{144}=-20+\frac{1681}{144}$$

Adder -20 til \frac{1681}{144}.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x+\frac{1681}{144}=-\frac{1199}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{41}{6}x+\frac{1681}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{41}{12}\right)^{2}=-\frac{1199}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1199}{144}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{41}{12}=\frac{\sqrt{1199}i}{12} x-\frac{41}{12}=-\frac{\sqrt{1199}i}{12}$$

Adder \frac{41}{12} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12} x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}$$