Løs 24x^2+6x-3=0

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 8x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -8.

$$-1,8 -2,4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Løsningen er det par, der får summen 2.

$$a=-2 b=4$$

Omskriv 8x^{2}+2x-1 som \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Udfaktoriser 2x i 8x^{2}-2x.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Udfaktoriser fællesleddet 4x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Løs 4x-1=0 og 2x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 24 med a, 6 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Multiplicer -4 gange 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Multiplicer -96 gange -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Adder 36 til 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Multiplicer 2 gange 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±18}{48} når ± er plus. Adder -6 til 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

Reducer fraktionen \frac{12}{48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 12.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±18}{48} når ± er minus. Subtraher 18 fra -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Reducer fraktionen \frac{-24}{48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Divider begge sider med 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

Division med 24 annullerer multiplikationen med 24.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{3}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Divider \frac{1}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Føj \frac{1}{8} til \frac{1}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Subtraher \frac{1}{8} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$