Løs 24x^2+10x-1=0

$$24 x ^ { 2 } + 10 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{12}\approx 0,083333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 24x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=10 ab=24\left(-1\right)=-24$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Løsningen er det par, der får summen 10.

$$a=-2 b=12$$

Omskriv 24x^{2}+10x-1 som \left(24x^{2}-2x\right)+\left(12x-1\right).

$$\left(24x^{2}-2x\right)+\left(12x-1\right)$$

Udfaktoriser 2x i 24x^{2}-2x.

$$2x\left(12x-1\right)+12x-1$$

Udfaktoriser fællesleddet 12x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(12x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Løs 12x-1=0 og 2x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{12} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$24x^{2}+10x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 24 med a, 10 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24\left(-1\right)}}{2\times 24}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24\left(-1\right)}}{2\times 24}$$

Multiplicer -4 gange 24.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96\left(-1\right)}}{2\times 24}$$

Multiplicer -96 gange -1.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 24}$$

Adder 100 til 96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Tag kvadratroden af 196.

$$x=\frac{-10±14}{2\times 24}$$

Multiplicer 2 gange 24.

$$x=\frac{-10±14}{48}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±14}{48} når ± er plus. Adder -10 til 14.

$$x=\frac{4}{48}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{1}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±14}{48} når ± er minus. Subtraher 14 fra -10.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Reducer fraktionen \frac{-24}{48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{12} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$24x^{2}+10x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$24x^{2}+10x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$24x^{2}+10x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$24x^{2}+10x=1$$

Divider begge sider med 24.

$$\frac{24x^{2}+10x}{24}=\frac{1}{24}$$

Division med 24 annullerer multiplikationen med 24.

$$x^{2}+\frac{10}{24}x=\frac{1}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x=\frac{1}{24}$$

Divider \frac{5}{12}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{24}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{24} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x+\left(\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{24}+\left(\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{24} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{1}{24}+\frac{25}{576}$$

Føj \frac{1}{24} til \frac{25}{576} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{49}{576}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{24}=\frac{7}{24} x+\frac{5}{24}=-\frac{7}{24}$$

Subtraher \frac{5}{24} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{12} x=-\frac{1}{2}$$