Løs 24a^2-60a+352=0

$$24 a ^ { 2 } - 60 a + 352 = 0$$

Løs for a

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25+3,619967771i$$

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25-3,619967771i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 24 med a, -60 med b og 352 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

Kvadrér -60.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

Multiplicer -4 gange 24.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-96\times 352}}{2\times 24}$$

Multiplicer -96 gange 352.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-33792}}{2\times 24}$$

Adder 3600 til -33792.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{-30192}}{2\times 24}$$

Tag kvadratroden af -30192.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

Det modsatte af -60 er 60.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

Multiplicer 2 gange 24.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48} når ± er plus. Adder 60 til 4i\sqrt{1887}.

$$a=\frac{60+4\sqrt{1887}i}{48}$$

Divider 60+4i\sqrt{1887} med 48.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48} når ± er minus. Subtraher 4i\sqrt{1887} fra 60.

$$a=\frac{-4\sqrt{1887}i+60}{48}$$

Divider 60-4i\sqrt{1887} med 48.

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

Subtraher 352 fra begge sider af ligningen.

$$24a^{2}-60a+352-352=-352$$

Hvis 352 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$24a^{2}-60a=-352$$

Divider begge sider med 24.

$$\frac{24a^{2}-60a}{24}=-\frac{352}{24}$$

Division med 24 annullerer multiplikationen med 24.

$$a^{2}+\left(-\frac{60}{24}\right)a=-\frac{352}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{-60}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 12.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{352}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{-352}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{44}{3}$$

Divider -\frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{44}{3}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{44}{3}+\frac{25}{16}$$

Føj -\frac{44}{3} til \frac{25}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{629}{48}$$

Faktor a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{629}{48}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{629}{48}}$$

Forenkling.

$$a-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{1887}i}{12} a-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}$$

Adder \frac{5}{4} på begge sider af ligningen.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$