Løs 24a^2+170a+9225=0

$$24 a ^ { 2 } + 170 a + 9225 = 0$$

Løs for a

$$a=\frac{-85+5\sqrt{8567}i}{24}\approx -3,541666667+19,282935389i$$

$$a=\frac{-5\sqrt{8567}i-85}{24}\approx -3,541666667-19,282935389i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$24a^{2}+170a+9225=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 24 med a, 170 med b og 9225 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-170±\sqrt{170^{2}-4\times 24\times 9225}}{2\times 24}$$

Kvadrér 170.

$$a=\frac{-170±\sqrt{28900-4\times 24\times 9225}}{2\times 24}$$

Multiplicer -4 gange 24.

$$a=\frac{-170±\sqrt{28900-96\times 9225}}{2\times 24}$$

Multiplicer -96 gange 9225.

$$a=\frac{-170±\sqrt{28900-885600}}{2\times 24}$$

Adder 28900 til -885600.

$$a=\frac{-170±\sqrt{-856700}}{2\times 24}$$

Tag kvadratroden af -856700.

$$a=\frac{-170±10\sqrt{8567}i}{2\times 24}$$

Multiplicer 2 gange 24.

$$a=\frac{-170±10\sqrt{8567}i}{48}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{-170±10\sqrt{8567}i}{48} når ± er plus. Adder -170 til 10i\sqrt{8567}.

$$a=\frac{-170+10\sqrt{8567}i}{48}$$

Divider -170+10i\sqrt{8567} med 48.

$$a=\frac{-85+5\sqrt{8567}i}{24}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{-170±10\sqrt{8567}i}{48} når ± er minus. Subtraher 10i\sqrt{8567} fra -170.

$$a=\frac{-10\sqrt{8567}i-170}{48}$$

Divider -170-10i\sqrt{8567} med 48.

$$a=\frac{-5\sqrt{8567}i-85}{24}$$

Ligningen er nu løst.

$$a=\frac{-85+5\sqrt{8567}i}{24} a=\frac{-5\sqrt{8567}i-85}{24}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$24a^{2}+170a+9225=0$$

Subtraher 9225 fra begge sider af ligningen.

$$24a^{2}+170a+9225-9225=-9225$$

Hvis 9225 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$24a^{2}+170a=-9225$$

Divider begge sider med 24.

$$\frac{24a^{2}+170a}{24}=-\frac{9225}{24}$$

Division med 24 annullerer multiplikationen med 24.

$$a^{2}+\frac{170}{24}a=-\frac{9225}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{170}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$a^{2}+\frac{85}{12}a=-\frac{9225}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{-9225}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$a^{2}+\frac{85}{12}a=-\frac{3075}{8}$$

Divider \frac{85}{12}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{85}{24}. Adder derefter kvadratet af \frac{85}{24} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}+\frac{85}{12}a+\left(\frac{85}{24}\right)^{2}=-\frac{3075}{8}+\left(\frac{85}{24}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{85}{24} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$a^{2}+\frac{85}{12}a+\frac{7225}{576}=-\frac{3075}{8}+\frac{7225}{576}$$

Føj -\frac{3075}{8} til \frac{7225}{576} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$a^{2}+\frac{85}{12}a+\frac{7225}{576}=-\frac{214175}{576}$$

Faktor a^{2}+\frac{85}{12}a+\frac{7225}{576}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a+\frac{85}{24}\right)^{2}=-\frac{214175}{576}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a+\frac{85}{24}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{214175}{576}}$$

Forenkling.

$$a+\frac{85}{24}=\frac{5\sqrt{8567}i}{24} a+\frac{85}{24}=-\frac{5\sqrt{8567}i}{24}$$

Subtraher \frac{85}{24} fra begge sider af ligningen.

$$a=\frac{-85+5\sqrt{8567}i}{24} a=\frac{-5\sqrt{8567}i-85}{24}$$