Løs 219x^2-12x+4=0

$$219 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726+0,13234134i$$

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726-0,13234134i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 219 med a, -12 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Multiplicer -4 gange 219.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-876\times 4}}{2\times 219}$$

Multiplicer -876 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-3504}}{2\times 219}$$

Adder 144 til -3504.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-3360}}{2\times 219}$$

Tag kvadratroden af -3360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Multiplicer 2 gange 219.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} når ± er plus. Adder 12 til 4i\sqrt{210}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{210}i}{438}$$

Divider 12+4i\sqrt{210} med 438.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} når ± er minus. Subtraher 4i\sqrt{210} fra 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{210}i+12}{438}$$

Divider 12-4i\sqrt{210} med 438.

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$219x^{2}-12x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$219x^{2}-12x=-4$$

Divider begge sider med 219.

$$\frac{219x^{2}-12x}{219}=-\frac{4}{219}$$

Division med 219 annullerer multiplikationen med 219.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{219}\right)x=-\frac{4}{219}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{219} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x=-\frac{4}{219}$$

Divider -\frac{4}{73}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{73}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{73} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{4}{219}+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{73} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{4}{219}+\frac{4}{5329}$$

Føj -\frac{4}{219} til \frac{4}{5329} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{280}{15987}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{280}{15987}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{280}{15987}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{73}=\frac{2\sqrt{210}i}{219} x-\frac{2}{73}=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}$$

Adder \frac{2}{73} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$