Løs 21x^2-58x+21=0

$$21 { x }^{ 2 } -58x+21=0$$

Løs for x

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 21x^{2}+ax+bx+21. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-58 ab=21\times 21=441$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 441.

$$-1,-441 -3,-147 -7,-63 -9,-49 -21,-21$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-441=-442 -3-147=-150 -7-63=-70 -9-49=-58 -21-21=-42$$

Løsningen er det par, der får summen -58.

$$a=-49 b=-9$$

Omskriv 21x^{2}-58x+21 som \left(21x^{2}-49x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(21x^{2}-49x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Ud7x i den første og -3 i den anden gruppe.

$$7x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-7\right)\left(7x-3\right)$$

Løs 3x-7=0 og 7x-3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{7}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$21x^{2}-58x+21=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 21 med a, -58 med b og 21 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{\left(-58\right)^{2}-4\times 21\times 21}}{2\times 21}$$

Kvadrér -58.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-4\times 21\times 21}}{2\times 21}$$

Multiplicer -4 gange 21.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-84\times 21}}{2\times 21}$$

Multiplicer -84 gange 21.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-1764}}{2\times 21}$$

Adder 3364 til -1764.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{1600}}{2\times 21}$$

Tag kvadratroden af 1600.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±40}{2\times 21}$$

Det modsatte af -58 er 58.

$$x=\frac{58±40}{2\times 21}$$

Multiplicer 2 gange 21.

$$x=\frac{58±40}{42}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{58±40}{42} når ± er plus. Adder 58 til 40.

$$x=\frac{98}{42}$$

Reducer fraktionen \frac{98}{42} til de laveste led ved at udtrække og annullere 14.

$$x=\frac{7}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{58±40}{42} når ± er minus. Subtraher 40 fra 58.

$$x=\frac{18}{42}$$

Reducer fraktionen \frac{18}{42} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=\frac{3}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$21x^{2}-58x+21=0$$

Subtraher 21 fra begge sider af ligningen.

$$21x^{2}-58x+21-21=-21$$

Hvis 21 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$21x^{2}-58x=-21$$

Divider begge sider med 21.

$$\frac{21x^{2}-58x}{21}=-\frac{21}{21}$$

Division med 21 annullerer multiplikationen med 21.

$$x^{2}-\frac{58}{21}x=-\frac{21}{21}$$

Divider -21 med 21.

$$x^{2}-\frac{58}{21}x=-1$$

Divider -\frac{58}{21}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{29}{21}. Adder derefter kvadratet af -\frac{29}{21} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{58}{21}x+\left(-\frac{29}{21}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{29}{21}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{29}{21} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{58}{21}x+\frac{841}{441}=-1+\frac{841}{441}$$

Adder -1 til \frac{841}{441}.

$$x^{2}-\frac{58}{21}x+\frac{841}{441}=\frac{400}{441}$$

Faktor x^{2}-\frac{58}{21}x+\frac{841}{441}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{29}{21}\right)^{2}=\frac{400}{441}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{21}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{441}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{29}{21}=\frac{20}{21} x-\frac{29}{21}=-\frac{20}{21}$$

Adder \frac{29}{21} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{7}$$