Løs 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 20 med a, -28 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Kvadrér -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplicer -4 gange 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplicer -80 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Adder 784 til 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Tag kvadratroden af 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Det modsatte af -28 er 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Multiplicer 2 gange 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} når ± er plus. Adder 28 til 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Divider 28+12\sqrt{6} med 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} når ± er minus. Subtraher 12\sqrt{6} fra 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Divider 28-12\sqrt{6} med 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Divider begge sider med 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Division med 20 annullerer multiplikationen med 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Reducer fraktionen \frac{-28}{20} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Divider -\frac{7}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Føj \frac{1}{20} til \frac{49}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Adder \frac{7}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$