Løs 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 20x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -1.

$$a=-5 b=4$$

Omskriv 20x^{2}-x-1 som \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Udfaktoriser 5x i 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Udfaktoriser fællesleddet 4x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Løs 4x-1=0 og 5x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 20 med a, -1 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplicer -4 gange 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplicer -80 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Adder 1 til 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Tag kvadratroden af 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Multiplicer 2 gange 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±9}{40} når ± er plus. Adder 1 til 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{40} til de laveste led ved at udtrække og annullere 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±9}{40} når ± er minus. Subtraher 9 fra 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Reducer fraktionen \frac{-8}{40} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Divider begge sider med 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Division med 20 annullerer multiplikationen med 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Divider -\frac{1}{20}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{40}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{40} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{40} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Føj \frac{1}{20} til \frac{1}{1600} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Adder \frac{1}{40} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$