Løs 2(x-6)+37=41+x^2

$$2(x-6)+37=41+ { x }^{ 2 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-\sqrt{15}i+1\approx 1-3,872983346i$$

$$x=1+\sqrt{15}i\approx 1+3,872983346i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-6.

$$2x-12+37=41+x^{2}$$

Tilføj -12 og 37 for at få 25.

$$2x+25=41+x^{2}$$

Subtraher 41 fra begge sider.

$$2x+25-41=x^{2}$$

Subtraher 41 fra 25 for at få -16.

$$2x-16=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$2x-16-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+2x-16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 2 med b og -16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-64}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 4 til -64.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-60}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af -60.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{-2} når ± er plus. Adder -2 til 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{15}i}{-2}$$

Divider -2+2i\sqrt{15} med -2.

$$x=-\sqrt{15}i+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{-2} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{15} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i-2}{-2}$$

Divider -2-2i\sqrt{15} med -2.

$$x=1+\sqrt{15}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\sqrt{15}i+1 x=1+\sqrt{15}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-6.

$$2x-12+37=41+x^{2}$$

Tilføj -12 og 37 for at få 25.

$$2x+25=41+x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$2x+25-x^{2}=41$$

Subtraher 25 fra begge sider.

$$2x-x^{2}=41-25$$

Subtraher 25 fra 41 for at få 16.

$$2x-x^{2}=16$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+2x=16$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=\frac{16}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=\frac{16}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$x^{2}-2x=\frac{16}{-1}$$

Divider 16 med -1.

$$x^{2}-2x=-16$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-16+1$$

Adder -16 til 1.

$$x^{2}-2x+1=-15$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=-15$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-15}$$

Forenkling.

$$x-1=\sqrt{15}i x-1=-\sqrt{15}i$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=1+\sqrt{15}i x=-\sqrt{15}i+1$$